数学期望（均值）
数学期望反映随机变量取值的平均水平，记作 (E(X))。
- 离散型随机变量：若 (X) 的可能取值为 (x_1, x_2, \ldots)，对应的概率为 (p_1, p2, \ldots)，则期望定义为
[ E(X) = \sum{i} x_i p_i. ] - 连续型随机变量：若 (X) 的概率密度函数为 (f(x))，则期望定义为
[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx. ]
性质：
- 线性性：对于任意常数 (a, b)，有 (E(aX + b) = aE(X) + b)。
- 若 (X) 和 (Y) 独立，则 (E(XY) = E(X)E(Y))（反之不一定成立）。
方差
方差衡量随机变量取值相对于期望的离散程度，记作 (\text{Var}(X)) 或 (D(X))，定义为
[
\text{Var}(X) = E\left[(X - E(X))^2\right] = E(X^2) - [E(X)]^2.
]
- 离散型：(\text{Var}(X) = \sum_{i} (x_i - E(X))^2 p_i)。
- 连续型：(\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 f(x) \, dx)。
性质：
- (\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X))，(a, b) 为常数。
- 若 (X) 和 (Y) 独立，则 (\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y))。
- 对于任意随机变量，方差非负，且当且仅当 (X) 以概率 1 取常数时为零。
常见分布的期望与方差
| 分布 | 期望 | 方差 |
|---|---|---|
| 二项分布 (B(n,p)) | (np) | (np(1-p)) |
| 泊松分布 (P(\lambda)) | (\lambda) | (\lambda) |
| 均匀分布 (U(a,b)) | (\frac{a+b}{2}) | (\frac{(b-a)^2}{12}) |
| 正态分布 (N(\mu,\sigma^2)) | (\mu) | (\sigma^2) |
| 指数分布 (Exp(\lambda)) | (\frac{1}{\lambda}) | (\frac{1}{\lambda^2}) |
标准差
标准差是方差的算术平方根，记作 (\sigma(X) = \sqrt{\text{Var}(X)})，与原始变量量纲一致,便于实际解释。
这些概念是进一步学习概率论、统计推断及数据分析的基础。
版权声明：除非特别标注，否则均为本站原创文章，转载时请以链接形式注明文章出处。
