概率密度函数
指数分布的概率密度函数为： [ f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \ 0, & x < 0 \end{cases} ] (\lambda > 0) 称为率参数，表示单位时间内事件发生的平均次数。(\lambda) 越大，表示事件发生越频繁,间隔时间越短。
累积分布函数
累积分布函数为： [ F(x) = P(X \le x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0 ]
数字特征
- 期望（均值）：(E(X) = \frac{1}{\lambda})
- 方差：(Var(X) = \frac{1}{\lambda^2})
- 标准差：(\sigma = \frac{1}{\lambda})
无记忆性
指数分布具有独特的“无记忆性”（Memoryless Property），即对于任意 (s, t > 0)，有： [ P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t) ] 这意味着已知事件已经过了 (s) 时间，再持续 (t) 时间的概率与从头开始持续 (t) 时间的概率相同，无记忆性是指数分布的特征,也是唯一具有该性质的连续分布。
应用领域
- 排队论：顾客到达的时间间隔、服务时间。
- 可靠性工程：电子元件的寿命建模。
- 生存分析：生物或机械系统的失效时间。
- 金融：某些风险事件的发生间隔。
与泊松分布的关系
指数分布与泊松分布密切相关：如果单位时间内事件发生的次数服从参数为 (\lambda) 的泊松分布，则事件之间的时间间隔服从参数为 (\lambda) 的指数分布。
指数分布是描述等待时间或寿命的经典模型,其无记忆性使其在众多领域具有广泛的应用。
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