二项分布是概率论中描述独立重复试验中成功次数的离散概率分布。其核心要点如下

定义与模型

• 试验场景：进行 (n) 次独立重复试验。
• 每次试验：只有两种结果——“成功”（概率 (p)）或“失败”（概率 (1-p)）。
• 随机变量 (X)：表示 (n) 次试验中成功的次数，记为 (X \sim B(n, p))。

概率质量函数

[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n ] (\binom{n}{k}) 是组合数，计算方式为 (\frac{n!}{k!(n-k)!})。

数字特征

• 期望（均值）：(E(X) = np)
• 方差：(Var(X) = np(1-p))
• 标准差：(\sigma = \sqrt{np(1-p)})
• 矩母函数：(M(t) = (1-p + pe^t)^n)

性质

• 可加性：若 (X \sim B(n, p))，(Y \sim B(m, p)) 且相互独立，则 (X + Y \sim B(n+m, p))。
• 与伯努利分布的关系：当 (n=1) 时,二项分布退化为伯努利分布。
• 对称性：当 (p = 0.5) 时，分布对称；否则偏斜。

应用领域

• 质量控制：抽样检测中不合格品数量的建模。
• 医学统计：临床试验中有效病例数的分析。
• 金融风险：投资组合中违约事件次数的估计。
• 调查统计：具有特定特征的受访者人数预测。

近似与关联

• 泊松近似：当 (n) 很大、(p) 很小，且 (np) 适中时，可用泊松分布 (Pois(\lambda = np)) 近似。
• 正态近似：当 (n) 较大，(p) 不接近 0 或 1 时，可用正态分布 (N(np, np(1-p))) 近似（需连续性校正）。

重要前提

使用二项分布必须满足：

1. 试验次数 (n) 固定。
2. 每次试验独立。
3. 成功概率 (p) 恒定。

实际应用中需谨慎验证条件，例如抽样时若不放回,则需用超几何分布修正。

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