矩阵的定义
矩阵是一个由数值排列成的矩形阵列,通常用大写字母表示，一个 ( m \times n ) 的矩阵 ( A ) 有 ( m ) 行和 ( n ) 列： [ A = \begin{bmatrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{m1} & a{m2} & \cdots & a{mn} \end{bmatrix} ] ( a{ij} ) 表示第 ( i ) 行第 ( j ) 列的元素。
矩阵的加法与减法
矩阵加减法要求两个矩阵的维度相同（即行数和列数分别相等），对应元素相加减。
- 加法：( C = A + B )，( c{ij} = a{ij} + b_{ij} )。
- 减法：( C = A - B )，( c{ij} = a{ij} - b_{ij} )。
标量乘法
一个矩阵 ( A ) 乘以一个标量 ( k )，即每个元素都乘以 ( k )： [ kA = \begin{bmatrix} k a{11} & k a{12} & \cdots & k a{1n} \ k a{21} & k a{22} & \cdots & k a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ k a{m1} & k a{m2} & \cdots & k a_{mn} \end{bmatrix} ]
矩阵乘法
矩阵乘法是矩阵运算中最重要的操作之一,若 ( A ) 是 ( m \times p ) 矩阵，( B ) 是 ( p \times n ) 矩阵，则乘积 ( C = AB ) 是一个 ( m \times n ) 矩阵，其中元素 ( c{ij} ) 是 ( A ) 的第 ( i ) 行与 ( B ) 的第 ( j ) 列对应元素的乘积之和： [ c{ij} = \sum{k=1}^{p} a{ik} b_{kj} ] 注意：矩阵乘法不满足交换律，即一般 ( AB \neq BA )。
矩阵的转置
矩阵的转置是将行和列互换,记作 ( A^T )，若 ( A ) 是 ( m \times n ) 矩阵，则 ( A^T ) 是 ( n \times m ) 矩阵，且 ( (A^T){ij} = A{ji} )。
特殊矩阵
- 零矩阵：所有元素均为 0，记作 ( 0_{m \times n} )。
- 单位矩阵：主对角线上元素为 1，其余为 0 的方阵，记作 ( I_n )。
- 对角矩阵：非主对角线元素均为 0 的方阵。
- 对称矩阵：满足 ( A^T = A ) 的方阵。
- 逆矩阵：对于方阵 ( A )，若存在矩阵 ( B ) 使得 ( AB = BA = I )，则 ( B ) 称为 ( A ) 的逆矩阵，记作 ( A^{-1} )。
行列式
行列式是方阵的一个标量值,记作 ( \det(A) ) 或 ( |A| )，它反映了矩阵的某些性质，如可逆性（若 ( \det(A) \neq 0 )，则 ( A ) 可逆），对于 ( 2 \times 2 ) 矩阵： [ \det\begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} = ad - bc ]
逆矩阵
若方阵 ( A ) 可逆，则存在唯一逆矩阵 ( A^{-1} )，满足 ( AA^{-1} = A^{-1}A = I )，求逆矩阵的方法包括高斯消元法、伴随矩阵法等。
矩阵运算的性质
- 加法：交换律 ( A+B = B+A )，结合律 ( (A+B)+C = A+(B+C) )。
- 乘法：结合律 ( (AB)C = A(BC) )，分配律 ( A(B+C) = AB+AC )。
- 转置：( (A^T)^T = A )，( (AB)^T = B^T A^T )，( (A+B)^T = A^T + B^T )。
- 逆矩阵：( (A^{-1})^{-1} = A )，( (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} )，( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T )。
